Just For Share Tugas

A. Pengertian Lingkaran

Secara geometris, benda-benda tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar (a).

Perhatikan Gambar (b) dengan saksama. Misalkan A, B, C merupakan tiga titik sebarang pada lingkaran yang berpusat di O. Dapat dilihat bahwa ketiga titik tersebut memiliki jarak yang sama terhadap titik O. Dengan demikian, lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, di mana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai titik pusat lingkaran. Pada Gambar (b) , jarak OA, OB, dan OC disebut jari-jari lingkaran.

Jadi dapat disimpulkan bahwa lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. Garis lengkung tersebut kedua ujungnya saling bertemu membentuk keliling lingkaran dan daerah lingkaran (luas lingkaran).

B. Unsur-unsur Lingkaran

Setiap bangun datar memiliki unsur-unsur yang membangunnya, termasuk bangun datar yang berbentuk lingkaran.Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, tembereng, juring, apotema, sudut pusat, dan sudut lingkaran.Untuk melihat gambarnya silahkan lihat gambar di bawah ini.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut.

a. Titik Pusat

Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak tepat di tengah-tengah lingkaran.Pada Gambar di atas, titik O merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.

b. Jari-Jari (r)

Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran (keliling lingkaran).Pada Gambar di atas, jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC, dan OD.

c. Diameter (d)

Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan melalui titik pusat.Garis AB dan CD pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai diameter lingkaran merupakan dua kali nilai jari-jari lingkaran, dapat ditulis secara matematis: d = 2r.

d. Busur

Busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada Gambar di atas, garis lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung BD merupakan busur lingkaran O. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat membayangkannya sebagai busur panah.

e. Tali Busur

Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan tidak melalui pusat lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran dinamakan dengan diameter lingkaran.Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AD yang tidak melalui titik pusat seperti pada gambar di atas. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat membayangkan seperti pada tali busur panah.

f. Tembereng

Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur.Pada Gambar di atas, tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AD dan tali busur AD.Jadi tembereng terbentuk dari gabungan antara busur lingkaran dengan tali busur lingkaran.

g. Juring

Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut.Pada Gambar di atas, juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.

h. Apotema

Apotema lingkaran merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut.Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur.Coba perhatikan Gambar di atas secara seksama.Garis OF merupakan garis apotema pada lingkaran O.

i. Sudut Pusat

Coba perhatikan gambar di bawah dengan seksama!

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara dua buah jari-jari lingkaran di titik pusat.Pada gambar di atas Garis OA dan OB merupakan jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik pusat O membentuk sudut pusat, yaitu ∠AOB.

j. Sudut Keliling

Coba perhatikan lagi gambar di bawah dengan seksama!

Sudut keliling merupakan sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara dua buah tali busur di suatu titik pada keliling lingkaran. Pada gambar di atas garis AC dan BC merupakan tali busur yang berpotongan di titik C membentuk sudut keliling ∠ACB

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar lingkaran berikut.

Dari gambar tersebut, tentukan:

a. titik pusat

b. jari-jari

c. diameter

d. busur

e. tali busur

f. tembereng

g. juring

h. apotema.

Jawab:

a. titik pusat = A

b. jari-jari = AF, AD, dan AE

c. diameter = DF

d. busur = garis lengkung CD, DE, EF, dan CF

e. tali busur = CF

f. tembereng = daerah yang dibatasi oleh busur CF dan tali busur CF

g. juring = EAF dan DAE

h. apotema = garis AB

Contoh Soal 2

Sebuah lingkaran dengan jari-jari 5 cm memiliki panjang tali busur 8 cm. Tentukan panjang garis apotema pada lingkaran tersebut.

Jawab:

Jika kita gambarkan akan seperti gambar berikut ini

Dari gambar di atas maka OB = OA = jari-jari lingkaran = 5 cm dan AB = tali busur = 8 cm.

Perhatikan segitiga ODB. Panjang BD = 4 cm dan OB = 5 cm.

Menurut Teorema Pythagoras :

OD² = OB² – BD²

Maka

OD = √(OB² – BD²)

OD = √(5² – 4²)

OD = √(25 – 16)

OD = √9

OD = 3 cm

Jadi, panjang garis apotema pada lingkaran tersebut adalah 3 cm

Contoh Soal 3

Perhatikan gambar lingkaran O berikut.

Jika panjang jari-jari lingkaran tersebut 13 cm dan panjang tali busur AB adalah 24 cm, tentukanlah panjang:

a. diameter lingkaran,

b. garis apotema OD,

c. garis CD

Jawab:

a . d = 2r = 2. 13 cm = 26 cm

b. Perhatikan segitiga ODB. Panjang BD = 12 cm dan OB = 13 cm.

Menurut Teorema Pythagoras :

OD² = OB² – BD²

Maka

OD = √(OB² – BD²)

OD = √(13² – 12²)

OD = √(169 – 144)

OD = √25

OD = 5 cm

c. CD = r – OD = 13 cm – 5 cm = 8 cm

Contoh Soal 4

Perhatikan gambar lingkaran berikut.

Dari gambar tersebut, tentukan:

a. titik pusat,

b. jari-jari,

c. diameter,

d. busur,

e. tali busur,

f. tembereng,

g. juring,

h. apotema.

Jawab:

a. Titik pusat = titik O

b. Jari-jari = garis PU, PQ, dan PR

c. Diameter = garis RU

d. Busur = garis lengkung QR, RS, ST, TU, dan UQ

e. Tali busur = garis ST

f. Tembereng = daerah yang dibatasi oleh busur ST dan tali busur ST

g. Juring = QPU, QPR, dan RPU

h. Apotema = garis PV

Contoh Soal 5

Perhatikan gambar lingkaran berikut.

Jika jari-jari lingkaran tersebut adalah 10 cm dan panjang tali busurnya 16 cm, tentukan:

a. diameter lingkaran,

b. panjang garis apotema.

Jawab:

a. Diamaeter merupakan dua kali jari-jari lingkaran:

Diameter (d) = 2 × jari-jari

Diameter (d) = 2 × (10 cm)

Diameter (d) = 20 cm

Jadi, diameter lingkaran tersebut adalah 20 cm.

b. Perhatikan segitiga OQR. Panjang OQ = 10 cm dan QR = 8 cm.

Menurut Teorema Pythagoras :

OR² = OQ² – QR²

OR²= (10)² - (8)²

OR²= 100² - 64²

OR²= 36 cm²

OR= √36 cm²

OR = 6 cm

Jadi, panjang garis apotema lingkaran tersebut adalah 6 cm

C. Hubungan sudut pusat dengan sudut keliling

Hubungan sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran.Anda harus paham terlebih dahulu pengertian unsur-unsur atau bagian-bagian lingkaran khusunya tentang busur, sudut pusat dan sudut keliling lingkaran.

Coba perhatikan gambar di atas dengan seksama, ∠AOB merupakan sudut pusat lingkaran dan ∠ACB merupakan sudut keliling lingkaran. Sudut pusat∠AOB dan sudut keliling ∠ACB menghadap busur yang sama, yaitu AB. Lalu bagaimana hubungan sudut pusat dengan sudut keliling jika menghadap busur yang sama?Untuk mengetahui hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama, perhatikan terlebih dahulu gambar di bawah.

Lingkaran di atas berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari OA = OB = OC = OD = r. Misalkan ∠AOC = α dan ∠COB = β, maka ∠ AOB = α + β.

Perhatikan ΔBOD!

∠BOD pelurus bagi ∠BOC, sehingga ∠BOD = 180° – β .

ΔBOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r, sehingga

∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - ∠BOD)

Karena ∠BOD = 180° – β , maka diperoleh

∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - (180° – β))

∠ODB = ½ β

Sekarang perhatikan ΔAOD!

∠AOD pelurus bagi ∠AOC, sehingga ∠AOD = 180° – α. ΔAOD adalah segitiga sama kaki, karena OA = OD = r, sehingga

∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - ∠AOD)

∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - (180° – α))

∠ODA = ∠OAD = ½ α

Dengan demikian mengunakan persamaan ∠ODB = ½β dan ∠ODA = ½α, maka besar ∠ADB dapat di cari:

∠ADB = ∠ODA + ∠ODB

∠ADB = ½β + ½α

∠ADB = ½ (β + α)

∠ADB = ½ ∠AOB atau

besar ∠AOB = 2 x besar ∠ADB.

Karena ∠ AOB adalah sudut pusat dan ∠ADB adalah sudut keliling, di mana keduanya menghadap ∠AB , maka dapat disimpulkan sebagai berikut.

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling.

Contoh Soal 1

Berdasarkan gambar di bawah, jika ∠BOC = 60°, hitunglah besar ∠BAC!

Penyelesaian:

∠BAC dan ∠BOC menghadap busur yang sama, yaitu busur BC, maka:

∠BAC = 1/2 × BOC

∠BAC = 1/2 × 60° = 30°

Jadi, besar ∠BAC = 30°.

Contoh Soal 2

Berdasarkan gambar di bawah ini, jika ∠AOC = 72°, hitunglah besar ∠ABC!

Penyelesaian:

Perhatikan gambar tersebut. ∠ABC adalah sudut keliling yang menghadap busur AC yang besar, maka kita harus menghitung sudut refleks AOC.

Sudut refleks AOC = 360° – ∠AOC

Sudut refleks AOC = 360° – 72° = 288°

∠ABC dan sudut refleks AOC menghadap busur AC yang besar, maka:

∠ABC = 1/2 × sudut refleks AOC

∠ABC = 1/2 × 288°

∠ABC = 144°

Jadi, besar ∠ABC = 144°

D. Panjang Busur dan Luas Juring

· Pengertian Juring Lingkaran (Sektor Lingkaran)

Definisi juring lingkaran adalah bidang yang dibatasi oleh busur lingkaran dan dua jari-jari lingkaran.Pada dasarnya juring lingkaran merupakan fraksi (pecahan) sebuah lingkaran.Bentuk juring seringkali diumpamakan sebagai bentuk potongan kue pie atau bentuk potongan pizza.

· Busur pada Juring Lingkaran

Busur lingkaran adalah garis lengkung yang mengikuti persamaan lingkaran.Busur lingkaran dapat berupa garis lengkung terbuka maupun garis lengkung tertutup. Jika garis lengkung ini membentuk lingkaran penuh maka panjang busurnya sama dengan keliling lingkaran.

· Sudut pada Juring Lingkaran

Sudut pada juring lingkaran adalah fraksi dari sudut 360 derajat.Contohnya suatu juring lingkaran yang terdiri dari seperempat lingkaran memiliki sudut juring seperempat dari sudut 360 derajat yaitu 90 derajat. Juring setengah lingkaran memiliki sudut juring 180 derajat.

· Sisi-Sisi Juring Lingkaran

Juring lingkaran memiliki dua buah sisi dan sebuah busur lingkaran.Pada dasarnya sisi-sisi juring lingkaran adalah jari-jari lingkaran. Jika sebuah bidang terdiri sebuah busur lingkaran dan dua sisi yang membentuk sudut tetapi kedua sisi bidang tersebut tidak sama dengan jari-jari lingkaran tersebut, maka bidang tersebut bukan merupakan juring lingkaran

· Cara Menghitung Panjang Busur Juring Lingkaran

Panjang busur juring lingkaran pada dasarnya adalah fraksi dari keliling lingkaran.Karena fraksi dari keliling lingkaran dapat dinyatakan dengan fraksi sudut juring terhadap sudut lingkaran penuh yaitu 360 derajat, maka panjang busur juring lingkaran dapat dinyatakan dalam rumus sebagai berikut.

· Cara Menghitung Keliling Juring Lingkaran

Keliling juring lingkaran adalah jumlah panjang busur dan dua sisi juring lingkaran.Karena sisi-sisi juring lingkaran adalah jari-jari lingkaran maka luas juring lingkaran adalah busur lingkaran ditambah dengan dua jari-jari lingkaran.Dalam persamaan matematika rumus untuk menghitung panjang keliling juring lingkaran adalah sebagai berikut.

· Cara Menghitung Luas Juring Lingkaran

Luas juring lingkaran pada dasarnya adalah fraksi dari luas lingkaran.Karena fraksi dari luas lingkaran dapat dinyatakan dengan fraksi sudut juring terhadap sudut lingkaran penuh yaitu 360 derajat, maka luas juring lingkaran dapat dinyatakan dalam rumus sebagai berikut.

Contoh

1. Cara Menghitung Busur, Luas, dan Keliling Juring Lingkaran
Soal: Selembar kertas berbentuk juring lingkaran memiliki sudut sisi-sisi juring sebesar 60 derajat dengan panjang sisi-sisi masing-masing 14 cm. Hitung panjang busur, keliling juring, dan luas juring permukaan kertas tersebut. (Petunjuk: busur = (sudut/360).K, keliling juring = (sudut/360).K + 2r, luas juring = (sudut/360). L).

Jawab:
Keliling lingkaran K = 2.(22/7).14 = 88 cm.

Luas lingkaran L = (22/7).14.14 = 616 cm².

Busur = (60/360).88 = 14,67 cm

Keliling juring = (60/360).88 + 2.(14) = 14,67 + 28 = 42,67 cm

Luas juring = (60/360).616 = 102,67 cm².